Analyse I                                     CS 103 - Automne 2004, Printemps 2005

Liste des questions posees cours analyse Nature des séries Devoir 1 - exercice 3 sujets d'examens Sigma avec n>=1 Devoir 1 question sur le cours Forum

Detail des questions

demonstration 1.18 Question postee le 11.12.04 1 reponse Voir les reponses / Repondre Je ne vois pas le role des sous suites dans la demonstration de la prop.1.18 Merci pour vos réponses .

Le 11.12.04 Il s'agit de demontrer que si une suite (Un) a deux valeurs d'adherence a et b qui sont differentes alors (Un) diverge. Quitte a renomer a et b, on peut supposer b>a. Par definition des valeurs d'adherence, il existe deux suites extraites (Uphi(n)) et (Upsi(n)) de (Un) qui convergent respectivement vers a et b. Ainsi, pour ε=(b-a)/3, il existe un rang N1 a partir duquel |Uphi(n)-a|≤ε et un rang N2 a partir duquel |Upsi(n)-b|≤ε. Pour n≥max(N1,N2) on a simultanement Uphi(n)≤&epsilon+a=(a+b)/3+a/3 et Upsi(n)≥b-&epsilon=(a+b)/3+b/3≥(a+b)/3+a/3+ε. Ainsi Upsi(n)≥Uphi(n)+ε et donc |Upsi(n)-Uphi(n)|≥ε. Notons q=max(psi(n),phi(n)) et p=min(psi(n),phi(n)) alors |Uq-Up|≥ε. Ainsi il existe un ε>0 tel que quelquesoit le rang N choisi, il existe un indice p et un indice q tel que q≥p≥N et |Uq-Up|≥ε. Donc (Un) n'est pas de Cauchy, par suite elle est divergente. CQFD. L'idee de la demonstration est la suivante : si une suite extraite de (Un) tend vers a alors on peut exiger que les termes de la suite soient aussi pres que l'on veut de a a partir d'un certain rang (pourvu que l'on prenne un rang suffisament grand). Si une suite extraite de (Un) tend vers b alors on peut exiger que les termes de la suite soient aussi pres que l'on veut de b a partir d'un certain rang. On peut alors s'arranger pour que la distance entre les termes pres de a et les termes pres de b soient plus grand qu'un ε fixe a l'avance, la suite ne peut donc pas etre de Cauchy. Retour