Racines des polynomes de degre n>2

Notes

- Les  a_k  peuvent être réels  ou  complexes.  Les racines  des nombres
  négatifs ou complexes sont "admises"
  Je  ne  traite  que  les  cas  où  les polynomes  sont unitaire  (leur
  coefficient de plus haut degré est 1. Si ce n'est pas le cas il suffit
  de  diviser  le polynôme  par  son coeficient  de plus haut degré   et
  d'appliquer la méthode que je développe plus bas.
- J'utilise pour ces démonstrations les notations sqrt(x) et cur(x)  qui
  désignent respectivement la racine carrée et cubique de x.
- J'utilise la notation <> pour signifier "différent de".

Polynômes est de degré 3

On part de l'équation: x^3 + a*x^2 + b*x + c = 0.

On effectue un changement de variable x = z - a/3.

On obtient alors une équation du type : z^3 + p*z + q = 0
Avec: p = b - (1/3)*a^2 et
      q = (2/27)*a^3 - (1/3)*a*b + c

Note:
Une fois que l'on a une solution z0 de l'équation  en z, alors  
x0 = z0 - a/3 est solution de l'équation en x.

Pour l'équation en z, deux cas sont possibles : (i) p = 0, (ii) p <> 0.

(i)  p = 0. L'équation s'écrit donc z^3 = -q
Cette équation a trois solutions dans C:
     z1 = cur(-q) (cur(x) est la racine cubique de x)
     z2 = j * z1
     z3 = (j^2) * z1.
        Où j = ( -1 + i*sqrt(3) )/2

(ii) p <> 0. L'équation est z^3 + p*z + q = 0.
On effectue un autre changement de variable z = u + v. Avec u non-nul.
Et l'équation s'écrit:
                u^3 + v^3 + q + (3*u*v + p)*(u + v) = 0
on s'intéresse alors au système suivant:
                { u^3 + v^3 + q = 0   [S]
                { 3*u*v + p = 0

Note:
si (u0, v0) est solution du sytème [S], on remarque que z0 = u0 + v0 est
solution de l'équation 3.

Le système [S] est équivalent à:
                { u^6 + q* u^3 - (1/27)*p^3 = 0
                { v = - p /(3u)

Encore (!) un changement de variable dans la première équation.
On pose y = u^3, et celle-ci devient: y^2 + q*y -(1/27)*p^3.
De là, une solution est donc:
                y = -q/2 + sqrt( (1/2)*q^2 +(1/27)*p^3 )

Donc, il ne reste plus qu'à trouver les solutions de u^3 = y.  C'est  le
cas (i). On a donc comme solutions:
      u1 = cur(y).      et v1 = -p / (3*u1)
      u2 = j * u1.      et v2 = j * v2
      u3 = (j^2) * u1 et v3 = (j^2) * v3
De là, on a z1 = u1 + v1, z2 = u2 + v2 et z3 = u3 + v3. Ce qui nous
donne les solutions pour x...

Polynômes est degré 4

On part de l'équation x^4 + a * x^3 + b * x^2 + c * x + d = 0.

On effectue le changement de variable x = z - a/4.

On obtient une équation réduite de la forme:
            z^4 + p * z^2 + q * z + r = 0

Avec p = b - (3/8)*a^2 ;
     q =  c - a*b/2 + (1/8)*a^3 et
     r = d - a*c/4 + (1/16)*b*a^2 - (3/256)*a^4

On a deux cas pour l'équation en z: (i) q = 0 et (ii) q <>0.

(i) q = 0. L'équation s'écrit z^4 + p * z^2 + r = 0.
C'est ce que l'on appelle une équation bicarrée.

On pose y = z^2 et l'equation devient y^2 + p * y + r = 0
Les solutions sont donc:
y1 = -p/2 + sqrt( (1/4)*p^2 - r) et y2 = -p/2 - sqrt( (1/4)*p^2 - r)

De là les valeurs de z sont:
z1 = sqrt(y1) ; z2 = - sqrt(y1) ; z3 = sqrt(y2) et z4 = -sqrt(y2).

(ii) q <> 0. L'équation s'écrit z^4 + p * z^2 + q * z + r = 0
On pose alors 2*P - Q^2 = p ; -2*Q*R = q et P^2 - R^2 = r.

On a alors (z^2 + P)^2 - (Qz +R)^2 = 0. Ce qui est une autre façon
d'écrire z^4 + p * z^2 + q * z + r = 0.

Si l'on arrive à determiner le triplet (P0, Q0, R0) alors trouver les
solutions de l'équation réduite revient à résoudre:
                z^2 + P0 + Q0 * z + R0 = 0 ou
                z^2 + P0 - Q0 * z - R0 = 0
On peut donc trouver z.

Il reste donc à determiner P, Q et R. C'est à dire à résoudre le système
                { 2*P - Q^2 = p
                { -2*Q*R = q [S]
                { P^2 - R^2 = r
Ce système revient à:
                { Q^2 = q^2 / (4*(P^2 - r))
                { R^2 = P^2 - r
                { Q*R = -q / 2
Ce qui revient à résoudre l'équation (en P) suivante:
                P^3 - (p/2)*P^2 - r*P + p*r/2 - (1/8)*q^2 = 0
De là, on trouve (pas si) facilement P0. Et grâce au système [S] on peut
lui associer un couple (Q0, R0) et donc trouver z... (ouf !)

Polynômes est de degré n>4

Au  XIXè  siècle,  Abel  a montré  que  la résolution  par  radicaux  de
l'équation du cinquième degré  était  impossible  dans  le cas  général.
Indépendamment,  Galois a généralisé  cette  démonstration  à l'ensemble
des cas où n est supérieur ou égal à 5.

Cette démonstration  demande un recours à la théorie de Galois,  elle ne
sera pas developpée ici.